La formula di Einstein dell’energia

Una delle conseguenze più strabilianti che Einstein fa risalire alla sua teoria della relatività è la celebre equazione

E = m c²

[Questa equazione era stata trovata precedentemente da Poincarrè e da Olinto del Pretto del tutto indipendentemente dalla teoria della relatività .]

Questa formula, come d’altronde tutta la teoria della relatività ristretta è una diretta conseguenza della spiegazione dell’effetto fotoelettrico, ed infatti l’articolo che riguarda l’effetto fotoelettrico, quello che riguarda la relatività ristretta e quello che riguarda l’equivalenza tra la massa e l’energia vengono pubblicati nello stesso anno (1905).

Come già detto nella trattazione dell’effetto fotoelettrico Einstein abbraccia completamente la teoria della natura corpuscolare della luce, già ipotizzata da Newton, ed applica la meccanica classica alla trattazione del moto del fotone che identifica come la particella fondamentale della luce.

Egli accetta le equazioni di Maxwell che conducono alla definizione della velocità della luce come una costante universale, tuttavia per poter giustificare la natura corpuscolare della radiazione, e quindi ricondurre la sua trattazione all’interno della meccanica classica egli è costretto ad una  completa ridefinizione dei concetti fondamentali di spazio e di tempo che da variabili indipendenti, assumono la funzione di variabili dipendenti dalla velocità del sistema di riferimento.

Abbiamo visto che il principio di relatività di Galileo è una diretta conseguenza del principio di conservazione dell’energia che Einstein utilizza ampliamente all’interno della sua teoria ma che è costretto ad abbandonare quando postula la costanza della velocità del  fotone.

Vediamo con quale procedura Einstein ricava la sua formula.

Nel lavoro pubblicato il 30 giugno 1905 ( on the electrodynamics of moving bodies), attraverso l’applicazione delle trasformazioni di Lorentz alle Equazioni di Maxwell-Hertz  perviene alla relazione

W= mc² [γ -1]

Cioè fa derivare la nota formula direttamente dalla sua teoria della relatività, assumendosene quindi direttamente la paternità con tutte le conseguenze ad essa correlate all’interno della sua teoria.

Il procedimento che egli utilizza consiste nel riscrivere le equazioni di Maxwell-Hertz

utilizzando un sistema di coordinate in movimento rettilineo uniforme lungo l’asse x con velocità v rispetto a quello fisso a cui ha applicato le trasformazioni di Lorentz trovate precedentemente. In tal modo perviene alle relazioni

in cui si nota chiaramente che si perdono completamente  le relazioni di ortogonalità tra il campo elettrico ed il campo magnetico vanificando in un certo qual modo tutto il lavoro di Maxwell e degli altri fisici che è rivolto a cercare le invarianze e non le covarianze, infatti la derivata rispetto al tempo della componente del campo elettrico X non dipende esclusivamente dalle componenti del campo magnetico N ed M ma anche dalle altre componenti del campo elettrico  Y e Z.

Successivamente egli impone, per il principio di relatività, l’equivalenza formale di dette espressioni con quelle generiche espresse nel sistema di coordinate mobili

sia nel passaggio dal sistema di riferimento fisso a quello mobile che nel processo inverso e perviene alle seguenti corrispondenze tra le componenti del campo elettromagnetico nei due sistemi

In questo modo Einstein riesce a mantenere invariate le componenti del campo elettrico X e magnetico L lungo la direzione dello spostamento degli assi ma a causa delle proprietà del rotore vengono inevitabilmente rimescolatele altre quattro componenti del campo elettromagnetico Y , Z, M, N.

Le proprietà del rotore sono inoltre tali che  la forza che agisce lungo l’asse di spostamento del sistema di coordinate è determinata anche dalle componenti del campo elettrico ( e magnetico) perpendicolari a tale asse, tale considerazione viene del tutto ignorata da Einstein nella determinazione dell’energia cinetica di un elettrone lungo l’asse di traslazione delle coordinate e comporta che la relazione

W= mc² [γ -1],

che egli determina , sia non valida.

Nella successiva nota del 27 Settembre dello stesso anno, nonostante le affermazioni poste all’inizio, Einstein abbandona la strada delle equazioni di Maxwell per dimostrare la sua formula e prende in considerazione un corpo con energia E₀ posto all’origine O di un sistema  a riposo S di assi cartesiani che emette nella direzione positiva e negativa  dell’asse x due onde piane luminose uguali di energia ciascuna  ½ L ; se l’energia dopo l’emissione avrà il valore E₁ allora le tre quantità saranno, per il principio di conservazione dell’energia, legate dalla relazione:

E₀ = E₁ +½ L+½ L = E₁+L

Se mettiamo infatti ad una certa distanza dall’origine degli assi , nella parte positiva e nella parte negativa dell’asse x due osservatori vediamo che essi registrano la stessa frequenza e quindi, per la relazione E= h ν la stessa energia.

A questo punto introduce un nuovo sistema di riferimento S' ( aggiungiamo noi analogo al sistema S e cioè con i due osservatori messi nella stessa posizione) che è in moto uniforme lungo la direzione positiva dell’asse x con la velocità v, e vuole osservare il fenomeno di emissione appena descritto da questo nuovo sistema di riferimento. Chiamando H₀ ed H₁ i valori dell’energia in questo nuovo sistema di riferimento prima e dopo l’emissione abbiamo che:

H₀ = H₁ +½ L(1-v/c) +½ L(1+v/c) = H₁+L

Il valore +½ L(1-v/c) può essere determinato dall’osservatore posto sull’asse positivo del sistema S'  che misura la frequenza della luce proveniente da O (caso CB2 nel capitolo  ) ed analogamente per il valore +½L(1+v/c)    (caso CB1) .

Sottraendo le due espressioni abbiamo

H₀ - E₀ - (H₁ - E₁) = 0

Cioè come è ben noto dalla meccanica classica l’energia di un sistema è una grandezza invariante che non dipende dal sistema di riferimento ( principio di conservazione dell’energia).

Il sistema che utilizza Einstein invece è quello di introdurre il fattore di normalizzazione γ derivato dalle trasformazioni di Lorentz che gli permette di mantenere costante la velocità della luce ( considerata  come particelle, cioè come fotoni) ma che non soddisfa il principio di conservazione dell’energia , infatti la precedente differenza, considerando l’energia cinetica, diventa diversa da zero cioè:

K₀ - K₁ = L ( γ -1) =L [ 1/(1-v²/c²)^½ - 1]

Che egli approssima al primo termine della sviluppo in serie

K₀ - K₁ = ½ (L/c²)v²

La formula precedente è del tutto  simile alla forma classica  dell’energia cinetica una volta posto che sia m= L/c²  che lo porta a concludere che     “If a body gives off the energy L in the form of radiation, its mass diminishes by L/c². …… so that we are led to the more general conclusion that the mass of a body is a measure of its energy-content…..”.

Questa conclusione è viziata, oltre che dall’illecita introduzione del fattore di normalizzazione γ  anche dalla constatazione che l’approssimazione adottata può avere significato solo per piccoli valori di v cioè quando siamo vicini al caso classico e quindi non c’è bisogno di γ  mentre quando γ assume significato, cioè in condizioni relativistiche, l’approssimazione non è più valida. Quindi l’equazione E=mc² che egli ritiene di aver trovato tramite la teoria della relatività è valida solo nel caso classico, cioè quando la teoria della relatività non è necessaria.

Una successiva espressione di questa formula viene fornita da Einstein in un articolo divulgativo della relatività edito nel 1916 in cui inserisce la formula all’interno della definizione dell’energia di un corpo materiale

E= mc² γ = mc² (1-v²/c²)^-1/2

Che fermata al secondo termine dell’espansione in serie binomiale da

E= mc² +1/2 mv²

Ci sono state  altre derivazioni di questa famosa formula, prima della formulazione della teoria di Einstein ( Olinto del Pretto e Poincaré ) e successive ad essa Eric Baird ed altri. Il comune denominatore di tutte queste determinazioni, comprese quelle di Einstein, è costituito dal fatto che tutti considerano il fotone come una particella materiale dotata di un proprio momento della quantità di moto ed a cui applicano le leggi della meccanica classica. Osservata da questo punto di vista allora la derivazione della formula diventa banale, infatti se consideriamo un tubo metallico con al centro una carica esplosiva ed ai lati due proiettili di massa m ciascuno, dopo l’esplosione, per il principio di conservazione della quantità di moto e trascurando gli effetti di riscaldamento, l’energia liberata della reazione chimica che determina l’esplosione si trasforma nell’energia cinetica dei due proiettili per cui

E= ½ mv² + ½ mv² = mv²

Se facciamo un analogo esperimento con una sostanze che emette fotoni essendo c la velocità della luce avremo

E= ½ mc² + ½ mc² = mc²

La relazione E=mv² è in pratica  quella che definisce la massa inerziale, cioè a parità di energia, la massa m è inversamente proporzionale al quadrato della velocità v² ; naturalmente se noi teniamo costante la velocità v per vari proiettili allora dovremmo fornire a ciascuno di essi una energia proporzionale alla sua massa. Cioè la massa m di un proiettile è quella che impedisce allo stesso di raggiungere una velocità infinita.

Per quanto riguarda il fotone invece dovremmo ammettere che la sua massa non sia di tipo inerziale perché la velocità della luce è costante e dovremmo associare ad ogni fotone di un diverso colore una massa proporzionale alla frequenza della radiazione collegata, cioè un fotone ultravioletto (λ = 250 nm) ha una massa doppia di un fotone giallo ((λ = 500 nm).

Noi sappiamo dalla meccanica quantistica  che l’emissione di un fotone è dovuto alla transizione di un elettrone ( che non varia la sua massa) da un livello atomico o molecolare a più alta energia ad un livello ad energia minore, durante il processo di emissione vi è quindi una variazione di energia dell’atomo o della molecola in esame ma nessuna variazione della sua massa. L’emissione del fotone tuttavia è collegata allo spostamento di una particella carica, con una sua massa caratteristica, all’interno di un atomo o di una molecola, ma la sua propagazione nello spazio non comporta nessun trasferimento di massa (sia dal punto di vista sperimentale, che dal punto di vista teorico della meccanica quantistica) ma esclusivamente un trasferimento di energia dovuta alla variazione del momento di dipolo dell’atomo o della molecola secondo le leggi dell’elettrodinamica classica descritte dalle equazioni di Maxwell-Hertz.

Una riprova di quanto detto l’abbiamo se consideriamo un fotone nella zona del medio infrarosso, dove l’emissione è dovuta alle vibrazioni molecolari, cioè allo spostamento di nuclei atomici più o meno carichi elettricamente all’interno di una molecola. In questo caso è previsto teoricamente e confermato sperimentalmente che l’energia del fotone è inversamente proporzionale alla massa degli atomi che lo generano.

Se quindi non entriamo nel campo della fisica nucleare o della fisica delle alte energie l’espressione E = mc², ottenuta per illecita trasposizione dalla relazione E = mv², non ha nessun significato né nel campo fisico-sperimentale né nel campo teorico-filosofico-razionale.

La spiegazione dell’effetto fotoelettrico fornita da Einstein, che per altro è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica quantistica, ha cercato di ricondurre la teoria elettromagnetica nel campo della meccanica classica  assegnando al fotone un momento di quantità di moto. In questa sua operazione egli era completamente in linea con l’opinione corrente della scienza  a cavallo del XIX e XX secolo  che aveva completamente abbandonato   l’ipotesi dell’ “etere luminifero” abbracciata da Maxwell e dallo stesso Lorentz nella formulazione della loro teoria elettromagnetica.

Questo abbandono era la conseguenza di una illecita interpretazione dell’esperimento interferometrico  del 1887 compiuto da A. Michelson ed E. Morley che erano alla ricerca di un “ effetto vento” determinato da quell’ “etere” a cui era stata assegnata dai suoi sostenitori, a partire da Cartesio, una natura “materiale” cioè di un fluido più o meno denso composto da particelle di massa propria. L’interpretazione dell’effetto Doppler ( acustico ed ottico) ci ha permesso nei precedenti capitoli di stabilire che l’esperimento interferometrico del 1887 non era in grado di stabilire nessun effetto di movimento del sistema di riferimento rispetto all’etere proprio per la ragione che sia l’emettitore di luce che il rivelatore avevano la stessa energia intrinseca perché si trovavano solidali con la superficie terrestre e perché, come ci mostra la meccanica quantistica, la natura dell’ ”etere luminifero”  non è di tipo materiale come quello che trasmette le onde sonore ma esclusivamente di tipo energetico ( potenziale), cioè di tipo elettromagnetico.

La nozione di campo elettromagnetico, come pure quella di campo gravitazionale, è oggi  accettata da tutta la comunità scientifica senza per questo inficiare il valore del lavoro di Einstein sull’effetto fotoelettrico che va interpretato non attraverso la quantizzazione del campo elettromagnetico (che fra l’altro è smentita dallo stesso effetto Doppler in cui l’energia della radiazione, cioè del fotone, varia con continuità in funzione dell’energia intrinseca, cioè traslazionale, dell’apparato emettitore o rivelatore) ma attraverso la quantizzazione del processo atomico-molecolare che causa la variazione del dipolo atomico-molecolare che a sua volta causa la polarizzazione del campo elettromagnetico e si trasmette nello spazio attraverso le leggi dell’elettrodinamica.

Naturalmente questa trattazione non è completa perché manca tutta la parte della fisica nucleare dove sembra tra l’altro che l’equazione E= mc² abbia trovato le maggiori ed inconfutabili conferme; le energie in gioco nei processi di fissione e fusione nucleare sono estremamente più elevate e  la natura ondulatoria delle radiazioni ( alfa, beta ecc. ) è più strettamente legata agli aspetti probabilistici che agli aspetti elettromagnetici. La fisica nucleare quindi richiederebbe una trattazione a parte tuttavia  quello che risulta dalla presente trattazione è che la formula E = mc² , non è correlata con la teoria della relatività di Einstein e non ne costituisce una sua conferma.